제 32 장	Maxwell 방정식, 물질의 자성

그림 32-1

그림 32-2

32-1  자기장에 대한 Gauss 법칙

32장  Maxwell 방정식, 물질의 자성

백종성의 강의노트

자기장에 대한 Gauss의 법칙

⑴ 자석을 잘게 부수어 자기홀극(magnetic monopole)을 만드는 것은 불가능.

⑵ 임의의 폐곡면을 통과하는 자기다발은 [eqn: 0].

[eqn: PHI_B ``=``oint vecB cdot d vecA ``=``0]	(32.1)

32-2, 3  유도자기장, 변위전류

Faraday의 법칙 :

[eqn: oint vecE cdot d vec{s} ``=`` - {d PHI_B} over dt]   (Faraday의 법칙)	(32.2)

☞ 변하는 자기장은 전기장을 만든다.

☞ 대칭성 [eqn: RARROW] 변하는 전기장이 자기장을 만들지 않을까?

[eqn: oint vecB cdot d vec{s} ``=`` mu_o epsilon_o {d PHI_E} over dt]	(Maxwell의 유도법칙)	(32.6)

[eqn: epsilon_o {d PHI_E} over dt ``=`` i_d]   (변위전류)	(32.7)

☞ 변위전류(displacement current) [eqn: i_d] : 변하는 전기장에 의해 형성.

Ampere-Maxwell의 법칙  전도전류와 변위전류가 동시에 존재하는 경우.

[eqn: oint vecB cdot d vec{s} ``=`` mu_o epsilon_o {d PHI_E} over dt ``+`` mu_o i_enc]   (Ampere-Maxwell의 법칙)	(32.9)

또는

[eqn: oint vecB cdot d vec{s} ``=`` mu_o i_{d,enc} ``+`` mu_o i_enc]   (Ampere-Maxwell의 법칙)	(32.10)

유도자기장 구하기

[eqn: vecE]

[eqn: (b)]

[eqn: (a)]

[eqn: i_d]

그림 32-3

[eqn: i_{d} = i] (축전기 안에서 변위전류)   (32.11)

내부([eqn: r<=R]) :

[eqn: pi R^2 ``:`` i_d ``=`` pi r^2 ``:`` i_{d,enc}]

[eqn: RARROW~~ i_{d,enc} ``=`` i_d r^2 over R^2]	(32.12)

[eqn: oint vecB cdot d vec{s}``=`` mu_o i_d,enc]	(32.13)

[eqn: mu_o i_d r^2 over R^2 ``=`` oint vecB cdot d vec{s}```=`` oint B `` ds ``=`` B ``oint ds ``=`` B(2 pi r) ``=`` 2 pi r B]

[eqn: THEREFORE````B ``=`` {mu_o i_d `r} over {2 pi R^2}]   (원형 축전기 내부)	(32.14)

외부([eqn: r>=R]) :

[eqn: mu_o i_d ``=`` oint vecB cdot d vec{s}```=`` oint B `` ds ``=`` B ``oint ds ``=`` B(2 pi r) ``=`` 2 pi r B]

[eqn: THEREFORE````B ``=`` {mu_o i_d } over {2 pi R}]   (원형 축전기 외부)	(32.15)

보기문제 32.01) 그림 32-3은 반지름이 [eqn: R]인 원통형 축전기가 대전되는 모습이다. 그림 [eqn: (a)]는 축전기를 옆에서 관측한 모습이고, 그림 [eqn: (b)]는 축전기 단면의 모습이다.

(a) 축전기 내부([eqn: r<=R], 점[eqn: ``1])에 유도되는 유도자기장에 대한 표현식을 구하시오.

풀이) 축전기 내부는 유전체로 채워져 있기 때문에 축전기 내부에는 전도전류가 흐를 수 없다.

[eqn: oint vecB cdot d vec{s}``=`` mu_o i_d,enc ``=`` mu_o epsilon_o {d PHI_E} over dt ``=`` mu_o epsilon_o d over dt int vec E cdot d vecA]	(a)

좌변[eqn: ``=`` oint vecB cdot d vec{s}```=`` oint B `` ds ``=`` B ``oint ds ``=`` B(2 pi r) ``=`` 2 pi r B]	(b)

우변[eqn: ``=`` mu_o epsilon_o d over dt int vec E cdot d vecA ``=`` mu_o epsilon_o d over dt int E `dA ``=`` mu_o epsilon_o d over dt left( E`` int dA `right)]

[eqn: =`` mu_o epsilon_o d over dt left{ E `( pi r^2 ) right} `=`` mu_o epsilon_o pi r^2 dE over dt]	(c)

[eqn: THEREFORE```` 2 pi r B `` =`` mu_o epsilon_o pi r^2 dE over dt ~~~ RARROW~~~ B ``=``{ mu_o epsilon_o r} over 2 dE over dt]	(d)

(b) [eqn: r ``=`` R/5 ``=`` 11 rm mm], [eqn: dE `/ dt ``=`` 1.5 times 10^12 ``rm V / m cdot s]인 경우, 자기장의 크기를 구하시오.

풀이) 식 (d)로부터 다음과 같이 문제의 답을 구할 수 있다.

풀이)	[eqn: B ``={ mu_o epsilon_o r} over 2 dE over dt `=` { (4 pi times 10^-7 )(8.85 times 10^-12 )(11 times 10^-3 )(1.5 times 10^12 )} over {2 } APPROX 9.18 times 10^-8 ``rm T] (e)

(c) [eqn: r>=R]인 경우 유도자기장에 대한 표현식을 구하시오.

풀이) 풀이과정은 “문제 (a)”와 동일!

좌변[eqn: ``=`` oint vecB cdot d vec{s}```=`` oint B `` ds ``=`` B ``oint ds ``=`` B(2 pi r) ``=`` 2 pi r B]	(f)

우변[eqn: ``=`` mu_o epsilon_o d over dt int vec E cdot d vecA ``=`` mu_o epsilon_o d over dt int E `dA ``=`` mu_o epsilon_o d over dt left( E`` int dA `right)]

[eqn: =`` mu_o epsilon_o d over dt left{ E `( pi R^2 ) right} `=`` mu_o epsilon_o pi R^2 dE over dt]	(g)

[eqn: THEREFORE```` 2 pi r B `` =`` mu_o epsilon_o pi R^2 dE over dt ~~~ RARROW~~~ B ``=``{ mu_o epsilon_o R^2} over {2r} dE over dt]	(h)

보기문제 32.02) “보기문제 32.01)”에서 축전기가 전류 [eqn: i`]로 대전되고 있는 경우, 다음을 답하시오.

(a) 극판 사이의 중심으로부터 [eqn: r ``=`` R/5`]인 곳에서 [eqn: oint vecB cdot d vecs]를 구하시오.

풀이) 축전기 내부에서 Ampere-Maxwell의 법칙 :

[eqn: oint vecB cdot d vec{s}``=`` mu_o i_d,enc]	(a)

그림 [eqn: (b)]에서 반지름이 [eqn: r`]([eqn: r<=R])인 원을 통해 흐르는 전류 :

[eqn: pi R^2 ``:`` i_d ``=`` pi r^2 ``:`` i_{d,enc} ~~~ RARROW~~~ i_{d,enc} ``=`` i_d r^2 over R^2]	(b)

[eqn: i_d ``=`` i`]를 고려!

[eqn: oint vecB cdot d vec{s} ``=``mu_o i_d,enc ``=`` mu_o i_d r^2 over R^2 ``=`` mu_o i (R/5)^2 over R^2 ``=`` {mu_o i} over 25]	(c)

(b) [eqn: r ``=`` R/5`]인 곳에서 유도자기장의 크기를 최대 유도자기장의 크기 [eqn: B_max`]로 나타내시오.

풀이)	[eqn: mu_o i_d r^2 over R^2 `= oint vecB cdot d vec{s} `= oint B `` d{s} `= B oint d{s} `= B `(2 pi r) ~~ RARROW~~ B = {mu_o i_d `r} over {2 R^2} ={mu_o i `r} over {2 R^2}]	(d)

[eqn: B_max ``=`` B`(R) ``=`` {mu_o i R} over {2 R^2} ``=`` {mu_o i } over {2 R}]	(e)

[eqn: B`(R/5) ``=`` {mu_o i (R/5)} over {2 R^2} ``=`` 1 over 5 {mu_o i } over {2 R}``=`` B_max over 5]	(f)

Maxwell 방정식

지금까지 공부했던 [eqn: 4`]개의 전자기 법칙을 다음과 같이 정리할 수 있는데, 이를 Maxwell 방정식이라 부른다.

⑴ 전기에 대한 Gauss 법칙 : 알짜 전기장 다발과 Gauss 면 내부에 존재하는 알짜 전하 사이의 관계.

[eqn: oint vecE cdot d vecA ``=`` q_enc over epsilon_o]	(32.16)

⑵ 자기에 대한 Gauss 법칙 : 알짜 자기다발과 Gauss 면 내부에 존재하는 알짜 자하 사이의 관계. 자기홀극 불가를 설명한다.

[eqn: oint vecB cdot d vecA ``=`` 0]	(32.17)

⑶ Faraday의 법칙 : 유도 전기장과 변화하는 자기다발 사이의 관계.

[eqn: oint vecE cdot d vec{s} ``=`` - {d PHI_B} over dt]	(32.18)

⑷ Ampere-Maxwell의 법칙 : 유도자기장과 변화하는 전기장 다발 및 전도전류 사이의 관계.

[eqn: oint vecB cdot d vec{s} ``=`` mu_o epsilon_o {d PHI_E} over dt ``+`` mu_o i_enc]	(32.19)

32-4  자석

그림 32-4

지구자기  그림 32-4는 지리적 관점에서 본 지구의 모습과 자기적 관점에서본 지구의 모습이다.

지구 자기쌍극자 모멘트는 [eqn: mu APPROX 8.0 times 10^22 ``rm J/T].

⑴ 자기편각 : 지리적 북쪽과 자기장의 수평성분이 만드는 각인데, 이는 나침반을 사용하여 측정하면 된다.

⑵ 경사각 : 수평면과 자기장이 만드는 각인데, 이는 경사계로 측정한다.

32-5  자기와 전자

스핀 자기 쌍극자모멘트  전자스핀은 원자스펙트럼의 다중구조(multiplet structure)를 설명하

기 위하여 도입.

한 전자와 다른 전자 사이의 고에너지 산란현상을 관측해 보면, 전자의 직경은 [eqn: r `` APPROX``5.0 times 10^-17 rm m]정도인데, 이때 전자의 스핀 각운동량(간단히 스핀이라고 함)의 크기는 [eqn: S ``=`` {sqrt3}ℏ /2]이다.(단, [eqn: ℏ ``=`` h /2 pi], [eqn: h`]는 Planck 상수) 이와 같은 스핀을 갖기 위해 필요한 전자표면의 접선속력을 다음과 같이 계산해 보자. 즉, 전자를 질량이 [eqn: m`]이고 반지름이 [eqn: r`]인 구라고 생각하면, 전자의 자전에 의한 각운동량은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: L ``=`` I `omega ``=`` left( {2 over 5 {mr^2} right) left(v over r right) ``=`` {2 over 5 {m v r}] (32.20)

따라서 다음과 같이 접선속력을 계산할 수 있다.

[eqn: {2 over 5} {m v r} ``=`` {sqrt3 over 2 }ℏ ``=`` {sqrt3 over 2 }h over {2 pi} ``=`` {sqrt{3} h} over {4 pi}]

[eqn: THEREFORE```` v ``=``{5 sqrt{3} h} over {8 pi m r} ``=``{5 sqrt{3} (6.626 times 10^-34 ``rm J cdot s)} over {8 pi (9.1 times 10^-31 ``rm kg)(5.0 times 10^-17 ``m)} `` APPROX`` 5.02 times 10^12 ``rm m/s] (32.21)

이상과 같이 전자의 스핀은 실험결과를 설명하기 위해 도입된 모형이다. 전자는 스핀 각운동량(간단히 스핀이라 함) [eqn: vecS`]와 스핀 자기 쌍극자모멘트 [eqn: {vec mu}_s]를 갖는 것으로 관측.

그림

32-5

[eqn: {vec mu}_s ``=`` - e over m vecS]	(32.22)

☞ [eqn: -]부호는 그림 32-5와 같이 [eqn: {vec mu}_s]와 [eqn: vecS`]가 서로 반대방향이라는 뜻이다.

특정한 방향에 대해 측정한 [eqn: vecS`]의 성분은 양자화(불연속적인 값만 허용됨) 되어 있는데, [eqn: vecS`]의 [eqn: z`]축 성분은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: S_z ``=`` m_s h over {2 pi}] (32.23)

여기서 [eqn: m_s`]를 스핀 자기양자수라고 부른다. [eqn: S_z`]가 [eqn: z`]축 방향을 향하면 [eqn: m_s ``=`` +1/2]이고 전자는 “위 스핀(spin up)” 상태에 있고, [eqn: -z`]축 방향을 향하면 [eqn: m_s ``=`` -1/2]이고 전자는 “아래 스핀(spin down)”상태에 있다고 한다.

식 (32.23)을 고려하면 [eqn: mu_s`]의 [eqn: z`]성분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: {mu}_{s,z} ``=`` - e over m S_z ``=`` - e over m LEFT ( m_s h over {2 pi} RIGHT ) ``=`` - e over m LEFT ( +- 1 over 2 h over {2 pi} RIGHT ) ``=`` +- {e h} over {4 pi m}] (32.24)

☞ 식 (32.24)에서 [eqn: mu_{s,z}`]가 [eqn: z`]축 방향이면 [eqn: +]부호, [eqn: -z`]축 방향이면 [eqn: -]부호이다.

[eqn: mu_s,z`]의 크기는 식 (32.24)로부터 다음과 같이 계산된다.

[eqn: dmatrix{`{mu}_{s,z}`} ``=``{e h} over {4 pi m} ``=``{(1.6 times 10^-19 ``rmC)(6.626 times 10^-34 ``J cdot s)} over {4 pi (9.1 times 10^-31 ``rm kg)} `` APPROX`` 9.27 times 10^-24 ``rm J/T] (32.25)

이 값을 Bohr 자기량 [eqn: mu_B`]라 부른다. 즉, [eqn: mu_B``=`` 9.27 times 10^-24 ``rm J/T]이다. 따라서 [eqn: dmatrix{`mu_s,z`}`` =`` 1`` mu_B]이다.

한편, 전자가 [eqn: z`]축 방향을 향하는 외부 자기장 [eqn: {vecB}_ext`] 안에 놓이면 스핀 자기 쌍극자모멘트에 의해 다음과 같은 퍼텐셜에너지 [eqn: U`]를 갖는다.

[eqn: U ``=`` - {vec mu}_s cdot {vecB}_ext ``=`` -mu_s,z B_ext] (32.26)

궤도 자기 쌍극자모멘트  원자 안에 있는 전자는 스핀과 함께 궤도 각운동량 [eqn: {vecL}_{it orb}]도 가지는데, 궤도 각운동량과 궤도 자기 쌍극자모멘트 [eqn: {vec mu}_orb`] 사이에 다음 관계가 있다.

[eqn: {vec mu}_{it orb} ``=`` - e over 2m {vecL}_{it orb}]	(32.27)

☞ [eqn: -]부호는 [eqn: {vec mu}_{it orb}]와 [eqn: {vecL}_{it orb}]가 서로 반대방향이라는 뜻이다.

한편, 특정한 방향에 대해 측정한 [eqn: {vecL}_{it orb}]의 성분은 양자화 되어 있는데, [eqn: {vecL}_{it orb}]의 [eqn: z`]축 성분은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: L_{it orb,z} ``=`` m_l h over {2 pi}]   ([eqn: m_l ``=`` 0, ``+-1, ``+-2, `` CDOTS, ``+-l])	(32.28)

여기서 [eqn: m_l`]은 궤도 자기양자수, 그리고 [eqn: l`]은 궤도 양자수이다.

식 (32.28)을 고려하면 [eqn: mu_{it orb}]의 [eqn: z`]성분은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: {mu}_{it orb,z} ``=`` - e over 2m L_{it orb,z} ``=`` - e over 2m LEFT ( m_l h over {2 pi} RIGHT ) ``=`` -m_l {eh} over {4 pi m} ``=`` -m_l` mu_B] (32.29)

한편, 원자가 [eqn: z`]축 방향을 향하는 외부 자기장 [eqn: {vecB}_ext`] 안에 놓이면 궤도 자기 쌍극자모멘트에 의해 다음과 같은 퍼텐셜에너지 [eqn: U`]를 갖는다.

[eqn: U ``=`` - {vec mu}_{it orb} cdot {vecB}_ext ``=`` -mu_{it orb,z} B_ext] (32.30)

전자궤도에 관한 고리모형  그림 32-6과 같이 전자가 반지름이 [eqn: r`]인 원을 따라 접선속도 [eqn: vecv`]로 돌고 있는 경우, 전자의 운동방향과 반대방향으로 다음과 같은 전류가 형성된다.

그림 32-6

[eqn: i ``=`` e over T ```=`` e over {2 pi r / v} ``=`` {e v} over {2 pi r}] (32.31)

☞ [eqn: T`]는 원운동의 주기이다.

따라서 전자의 궤도 자기 쌍극자모멘트는 다음과 같다.

[eqn: mu_{it orb} ``=`` i A ``=`` left({e v} over {2 pi r} right) (pi r^2 ) ``=`` {e v r} over 2] (32.32)

한편 전자의 궤도 각운동량의 크기는 다음과 같이 구해진다.

[eqn: L_{it orb} ``=`` dmatrix{`vecr times (m vec v )`} ``=`` mrv] (32.33)

따라서 식 (32.32), (32.33)으로부터 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: mu_{it orb} ``=`` {e v r} over 2 ``=`` e over 2 L over m ``=`` e over 2m L] (32.34)

전류의 방향과 전자의 운동방향이 반대이므로, 그림과 같이 [eqn: {vec mu}_{it orb}]와 [eqn: {vecL}_{it orb}]는 반대방향이다. 결국 이들 사이의 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: {vec mu}_{it orb} ``=`` - e over 2m {vecL}_{it orb}]	(32.35)

자성물질

물질은 원자로 구성되어 있고, 원자는 원자핵과 핵 주위를 돌고 있는 전자로 이루어져 있다. 이때 핵 주위를 돌고 있는 전자가 물질의 자성에 기여한다.

⑴ 핵 주위를 돌고 있는 전자는 스핀 자기 쌍극자모멘트와 궤도 자기 쌍극자모멘트를 가지므로 전자의 자기 쌍극자 모멘트는 이들의 벡터 합으로 주어진다.

⑵ 하나의 원자에 포함된 모든 전자들의 자기 쌍극자모멘트가 벡터적으로 합해져 원자의 자기 쌍극자모멘트를 구성한다.

⑶ 물질을 구성하는 모든 원자들의 자기 쌍극자모멘트가 벡터 합으로 결합되어 물질의 자기 쌍극자모멘트를 만든다.

⑷ 현대물리학에서 공부하겠지만, 특정한 원자에 소속된 전자(핵 주위를 돌고 있는 전자)의 상

태는 [eqn: 4`]개의 양자수(주양자수 [eqn: n], 궤도양자수 [eqn: l], 궤도 자기양자수 [eqn: m_l`], 스핀 자기양자수 [eqn: m_s`])로 표현되는데, 이와 관련된 파울리의 배타원리와 훈드 규칙은 다음과 같이 기술된다.

⒜ 파울리의 배타원리(Pauli's exclusion principle) ： 한 원자 내에서 두 전자가 동일한 [eqn: 4`]개의 양자수들을 가질 수 없다.

⒝ 훈드 규칙(Hund rule) : 동일한 에너지 준위를 가지는 부껍질에 전자가 채워질 때, 가능하면 짝을 이루지 않는 방법으로 전자들이 채워진다.

⑸ 한 원자 내에서 두 전자의 양자수가 스핀 자기양자수 [eqn: m_s`]만 다르고, 나머지 [eqn: 3`]개의 양자수는

동일할 때, 이들을 쌍을 이룬 전자(paired electron)라고 한다. [eqn: m_s`]는 [eqn: +1/2](spin up) 또는

[eqn: -1/2](spin down)과 같이 두 개의 값만 가지므로 쌍을 이룬 두 전자의 자기모멘트의 합은 [eqn: 0`]이다. 따라서 쌍을 이룬 전자로만 구성된 원자의 알짜 자기모멘트는 [eqn: 0`]이다. 쌍을 이루지 못한 전자(unpaired electron)를 가지는 원자는 알짜 자기모멘트를 갖는데, 이와 같이 원자 자기 모멘트(atomic magnetic moment)를 갖는 원자를 자기원자(magnetic atom)라 한다.

[eqn: (a)]

[eqn: (b)]

[eqn: (c)]

그림 32-8

[eqn: S]  [eqn: N]

●

⑹ 자기원자는 자기 쌍극자모멘트를 가지므로, 물질 안에서 그림 32-8[eqn: (a)]와 같이 작은 자석처럼 행동한다. 이와 같은 자기원자를 편의상 그림 [eqn: (b)]와 같이 표시하는데, 이 모습은 작은 공 모양의 원자가 화살표 방향의 자기 쌍극자모멘트를 가진다는 뜻이다. 경우에 따라 공 모양을 생략하고 그림 [eqn: (c)]와 같이 화살표만 사용하기도 한다.

32-6  반자성

[eqn: N]

[eqn: S]

[eqn: S]

[eqn: N]

반자성 물질

자석

[eqn: (a)]

[eqn: (b)]

그림 32-11

[eqn: {vecB}_ext``=``0]

[eqn: {vecB}_ext]

외부 자기장이 인가될 때 물질의 자기 쌍극자모멘트가 외부 자기장과 반대방향으로 정렬하는 현상이 반자성인데, 결국 반자성의 기원은 Lenz의 법칙과 밀접한 관계가 있다고 할 수 있다.

32-7  상자성

상자성 물질은 알짜 자기 쌍극자모멘트 [eqn: vecmu`]를 갖는 자기원자들로 구성되어 있다. 그림 32-12[eqn: (b)]는 외부에서 자기장을 가하지 않았을 때 상자성체를 구성하는 원자들의 자기 쌍극자모멘트의 모습이다. 각각의 원자들을 자기 쌍극자모멘트를 갖지만 그들의 방향이 random 하여 물질의 알짜 자기 쌍극자모멘트는 [eqn: 0`]이다.

그러나 그림 [eqn: (c)]와 같이 외부에서 자기장을 가하면 원자들의 자기 쌍극자모멘트가 그림 [eqn: (d)]와 같이 자기장 방향으로 약간씩 회전하여 물질 전체적으로는 알짜 자기 쌍극자모멘트를 갖게 된다. 그림 [eqn: (d)]는 그림 [eqn: (c)]의 내부 모습을 확대한 그림인데, 빨간색 가는 화살표는 자기장을 가하지 않았을 때의 쌍극자모멘트의 모습(그림 [eqn: b`]와 동일한 모습)이고, 파란색 굵은 화살표는 자기장에 의해 쌍극자모멘트가 약간 회전한 모습이다. 결국 상자성체에 자기장을 가하면 자기장 방향의 알짜 자기 쌍극자모멘트가 생기는데, 그 크기가 강자성체에 비해 매우 작다.

상자성 물질

[eqn: (a)]

[eqn: (c)]

그림 32-12

[eqn: {vecB}_ext``=``0]

[eqn: {vecB}_ext]

[eqn: (b)]

[eqn: (d)]

[eqn: {vec mu}_{rm sam} = 0]

[eqn: {vec mu}_{rm sam}]

보기문제 32.03) 상온([eqn: T ``=`` 300`` rm K])에 있는 상자성 기체가 크기가 [eqn: B ``=`` 1.5 ``rm T]인 균일한 외부 자기장에 놓여있다. 기체 원자들의 자기 쌍극자모멘트는 [eqn: mu ``=`` 1.0 mu_B`]이다. 기체원자의 평균 병진운동에너지 [eqn: K`]를 계산하고, 원자의 자기 쌍극자모멘트 정열이 외부 자기장과 평행일 때와 반 평행일 때의 에너지차 [eqn: TRIANGLE U_B`]를 구하시오.

풀이) 상자성 기체를 단원자 이상기체로 취급하면 다음과 같이 병진운동에너지를 구할 수 있다.

[eqn: K ``=`` 3 over 2 k T ``=`` 3 over 2 (1.38 times 10^-23 ``rm J/K) (300 ``K) `` APPROX`` 6.2 times 10^-21 ``J `` APPROX `` 0.039 ``eV] (a)

그리고 자기 퍼텐셜에너지는 [eqn: U_B ``=`` -vecmu cdot vecB``=`` - mu B cos theta]와 같이 주어지므로, 쌍극자 모멘트가 자기장과 평행한 경우([eqn: theta``=``0])와 반 평행한 경우([eqn: theta``=``180^o])에 대한 차이는 다음과 같이 구해진다.

[eqn: TRIANGLE U_B``=`` - mu B cos 180^o ``-`` (- mu B cos 0) ``=`` 2 mu B ``=`` 2 mu_B B ``=``2(9.29 times 10^-24 ``rm J/T)(1.5 ``T)]

[eqn: APPROX``2.8 times 10^-23 ``rm J `` APPROX`` 0.00017 ``eV]	(b)

32-6  강자성

강자성체의 가장 큰 특성은 교환결합(exchange interaction, 교환 상호작용이라고도 함)이라고 하는 상호작용을 통해 이웃한 원자 자기 쌍극자모멘트들이 서로 평행하게 정렬하는 현상이다. 이와 같은 정렬을 통해 강자성체는 영구자성을 갖게 된다.

그림 32-14[eqn: (a)]에서 세 종류의 작은 화살표(, , )는 원자 자기 쌍극자모멘트를 의미한다. 여기서 보면 원자 자기 쌍극자모멘트의 방향이 서로 평행한 세 영역이 존재하는데 이를 자기구역(magnetic domain, 간단히 자구하고도 함)이라고 부른다. 즉, 자기구역은 이웃한 원자 자기 쌍극자모멘트들이 서로 평행하게 정렬되어 있는 영역인데, 이는 이웃한 원자 자기 쌍극자모멘트 사이의 교환결합을 통해 형성된다. 자기구역의 모습 그림 [eqn: (a)]를 간단히 그림 [eqn: (b)]와 같이 표현한다.([eqn: BECAUSE] 원자 자기 쌍극자모멘트들을 모두 그릴 수 없고, 그렇게 하려면 많은 시간이 필요!)

[eqn: (a)]     그림 32-14       [eqn: (b)]

자벽

자벽

자기

구역

자기

구역

보기문제 32.04) 순수한 철로 만든 나침반 바늘의 길이는 [eqn: L ``=`` 3 ``rm cm], 너비는 [eqn: w ``=`` 1 ``rm mm], 그리고 두께는 [eqn: t ``=`` 0.5 ``rm mm]이다. 철원자의 자기 쌍극자모멘트는 [eqn: mu_{rm Fe} ``=`` 2.1 times 10^-23 ``rm J/T]이다.

(a) 바늘의 원자가 [eqn: 10%`]만큼 정렬하여 자기화 되었다면, 바늘의 자기 쌍극자모멘트의 크기 [eqn: mu]는 얼마인가?

풀이) 문제에서 철원자의 자기 쌍극자모멘트와 정렬된 비율이 제시되었으므로, 바늘에 들어있는

철원자의 수 [eqn: N`]을 구하면 문제를 해결할 수 있다. [eqn: N`]은 바늘의 질량 [eqn: M_sam]과 원자 한 개의 질량 [eqn: m`]으로부터 구해지는데, 이들을 다음과 같이 정리할 수 있다.

[eqn: M_sam ``=`` rho V ``=`` rho (L `w `t ) ``=`` (7900 ``rm kg/m^3 )(0.03 ``m)(0.001 ``m)(0.0005 ``m) `` APPROX`` 1.185 times 10^-4 ``kg]

[eqn: m ``=`` M over N_A ``=`` {55.847 times 10^-3 ``rm kg / mol} over {6.02 times 10^23 ``rm mol^-1} `` APPROX`` 9.28 times 10^-26 ``rm kg]

[eqn: N ``=`` M_sam over m ``=``{1.185 times 10^-4 ``rm kg} over{9.28 times 10^-26 ``rm kg} `` APPROX`` 1.28 times 10^21 ``rm atoms]	(a)

☞ [eqn: rho (= 7900 ``rm kg/m^3 )]는 철의 밀도, [eqn: M `(= {55.847 times 10^-3 ``rm kg / mol})]은 철 [eqn: 1 ``rm mol]의 질량이다.

따라서 문제에서 요구하는 바늘의 자기 상극자모멘트의 크기 [eqn: mu`]는 다음과 같이 구해진다.

[eqn: mu ``=`` 0.1 N mu_{rm Fe}``=`` (0.1)( 1.28 times 10^21 )( 2.1 times 10^-23 ``rm J/T) `` APPROX``2.69 times 10^-3 ``J/T] (b)

(b) 나침반 바늘을 (수평의) 남북 평형위치로부터 약간 밀어 놓으면 바늘은 평형위치에 대하여 진동한다. 진동주기가 [eqn: T ``=`` 2.2 rm ``s]라면 나침반이 위치한 지점에서 자기장의 수평성분은 얼마인가?

풀이) 이 문제는 바늘에 작용하는 토크를 구하여 회전에 대한 운동방정식을 세우면 해결할 수 있다. 바늘이 평형위치로부터 약간 벗어났으므로 [eqn: theta <<1]이다. 따라서 [eqn: sin theta APPROX theta]를 고려하면, 바늘에 작용하는 토크의 크기는 다음과 같이 구해진다.

[eqn: tau ``=`` dmatrix{ vec mu times vecB`} ``=`` mu B sin theta `` APPROX``mu B` theta] (c)

바늘을 질량이 [eqn: M_sam]이고, 길이가 [eqn: L`]인 막대로 생각하면 바늘의 회전관성은 [eqn: I ``=`` M_sam L^2 /12]이므로 다음과 같이 회전에 대한 운동방정식을 세워서 문제를 해결할 수 있다.

[eqn: - mu B `theta ``=`` I `alpha ~~~ RARROW~~- mu B `theta ``=`` I `{d^2 theta} over dt^2 ~~~ RARROW~~~ {d^2 theta} over dt^2 ``+`` {mu B} over I theta ``=``0 ~~~ RARROW~~~ omega^2 ``=`` {mu B} over {I}] (d)

[eqn: THEREFORE```` B ``=`` { omega^2 I} over mu ``=`` { (2 pi / T`)^2 (M_sam L^2 / 12)} over mu ``=``{ pi^2 M_sam L^2 } over {3 T^2 mu}]

[eqn: =`` {pi^2 (1.185 times 10^-4 rm``kg)(0.03 ``m)^2} over {3(2.2 rm ``s)^2 (2.69 times 10^-3 ``J/T)} `` APPROX`` 2.692 times 10^-5 ``rm T]	(e)

☞ 진동하는 나침반의 주기를 측정하여 어떤 지점의 자기장을 측정할 수 있다!